設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與x軸的交點為Q,過Q點的直線l交拋物線于A,B兩點.
(1)若直線l的斜率為
2
2
,求證:
FA
FB
=0
;
(2)設(shè)直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
分析:(1)由點斜式寫出直線l的方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系求出A,B兩點的橫坐標(biāo)的和與積,寫出向量
FA
,
FB
的坐標(biāo),展開數(shù)量積后代入根與系數(shù)關(guān)系得答案;
(2)設(shè)直線l的方程為l:x=ky-
p
2
,和拋物線方程聯(lián)立后話誒關(guān)于y的一元二次方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,由兩點式求出斜率后作和化簡,代入根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案.
解答:(1)證明:由題意可得l:y=
2
2
(x+
p
2
)
,
聯(lián)立
y=
2
2
(x+
p
2
)
y2=2px
,得x2-3px+
p2
4
=0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=3p,x1x2=
p2
4

FA
=(x1-
p
2
y1),
FB
=(x2-
p
2
,y2)

FA
FB
=(x1-
p
2
)(x2-
p
2
)+y1y2=
3
2
x1x2-
p
4
(x1+x2)+
3
8
p2=0

(2)設(shè)直線l:x=ky-
p
2
,與拋物線聯(lián)立得y2-2pky+p2=0.
y1+y2=2p,y1y2=p2
k1+k2=
y1
x1-
p
2
+
y2
x2-
p
2
=
y1
ky1-p
+
y2
ky2-p
=
2ky1y2-p(y1+y2)
(ky1-p)(ky2-p)
=
2kp2-p•2pk
(ky1-p)(ky2-p)
=0
點評:本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題,常利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,采用設(shè)而不求的方法解決,此題屬中高檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A,B兩點,且A,B兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),y1>0,y2<0,M是拋物線的準(zhǔn)線上的一點,O是坐標(biāo)原點.若直線MA,MF,MB的斜率分別記為:KMA=a,KMF=b,KMB=c,(如圖)
(I)若y1y2=-4,求拋物線的方程;
(II)當(dāng)b=2時,求a+c的值;
(III)如果取KMA=2,KMB=-
12
時,判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系.并說明理由.

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7、設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上一點A(1,2)到點B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,則實數(shù)x0的值是
1

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拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點,則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點,△ABQ為阿基米德三角形,則△ABQ為( 。

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拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點,則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點,△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為( 。
A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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