Question

如圖所示的六面體，面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，AD⊥DC₁，D為BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）求四面體C₁-ADC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證AB⊥AC，由于A₁C₁∥AC，可以轉(zhuǎn)化為證明A₁C₁⊥AB，通過證明A₁C₁⊥面ABB₁ A₁，可以證明A₁C₁⊥AB；
（2）要求四面體C₁-ADC的體積，可以轉(zhuǎn)化為求四面體D-ACC₁ 的體積．

解答： 解：（1）證明：連結(jié)DA₁，由題意得，面ABB₁ A₁ 為矩形，
∵AA₁=2AB=2A₁B₁
∴AD⊥DA₁
因?yàn)锳D⊥DC₁，A₁ D∩DC₁=D，
所以AD⊥面DC₁ A₁，得AD⊥A₁C₁
所以A₁C₁⊥面ABB₁ A₁，
∵AB?面ABB₁ A₁，
∴A₁C₁⊥AB
又∵A₁C₁∥AC
∴AB⊥AC．
（2）V C1-ADC=VD-ACC1=

1

3

．
所以四面體C₁-ADC的體積為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面位置關(guān)系的證明及幾何體的體積，證明線線垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線面垂直；求三棱錐的體積關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化成易求底面積和高的三棱錐的體積問題．