Question

設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有三個數(shù)，若對任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、

a

b

∈P （除數(shù)b≠0 ），則稱P是一個數(shù)域．
例如：有理數(shù)集Q 是數(shù)域，實數(shù)集R也是數(shù)域．
（1）求證：整數(shù)集Z不是數(shù)域；
（2）求證：數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；
（3）若有理數(shù)集Q⊆M，那么數(shù)集M 是否一定為數(shù)域？說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的主要知識點是新定義概念的理解能力．我們可根據(jù)已知中對數(shù)域的定義：設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個數(shù)域，對3個命題逐一進行判斷證明即可．

解答：證明：（1）若整數(shù)集Z是數(shù)域，…（1分）
則由1∈Z，2∈Z，得

1

2

∈Z，…（3分）
與

1

2

∉ Z矛盾．                    …（4分）
故整數(shù)集Z是數(shù)域不可能，即整數(shù)集Z不是數(shù)域   …（5分）
（2）設(shè)P是一個數(shù)域，a，b∈P，a≠b，ab≠0
則(a+b)∈P ， 

a+b

b

∈P ， 

a

b

∈P 

所以

a+b

b

-

a

b

=1∈P …（8分）
同理可得，

a

b

-

a+b

b

=-1∈P …（9分）
所以-1+1=0∈P                   …（10分）
故數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)
（3）數(shù)集M 
不一定為數(shù)域．                        …（11分）
例如：①若M=R，則Q⊆M，且M 是數(shù)域；      …（12分）
②若M={x|x∈Q，或x=

2

 }則Q⊆M，但M 不是數(shù)域；…（13分）
假設(shè)M是數(shù)域，則由-1∈M，

2

∈M，得-1×

2

=-

2

∈M 

所以-

2

∈Q 與-

2

∉Q 矛盾!…（15分）
綜上所述：數(shù)集M 不一定為數(shù)域．             …（16分）

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運算的定義，將已知中的3個命題代入進行檢驗，要滿足對四種運算的封閉，只有一個個來檢驗，如（1）對除法如

1

2

∉Z不滿足，所以排除．