Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的有理項(xiàng)共有

 

項(xiàng)，分別是第

 

項(xiàng)．

Answer 1

分析：先根據(jù)二項(xiàng)式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，可求得n的值，然后利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得展開式中的有理項(xiàng)．

解答：解：∵二項(xiàng)式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴n=8，則T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)rC₈^rx4-

3r

4

，
當(dāng)4-

3r

4

∈Z時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
∵0≤r≤8且r∈Z，
∴r=0，4，8符合要求，故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別為1、5、9項(xiàng)．
故答案為：3；1、5、9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．