Question

12．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，有tf（x）≥4^x-2^x+2+3恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，令f（0）=0列出方程，求出a的值，然后再驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)得答案；
（2）由0＜x≤1判斷出f（x）＞0，再把t分離出來轉(zhuǎn)化為t≥$\frac{{4}^{x}-{2}^{x+2}+3}{f（x）}$對(duì)x∈（0，1]時(shí)恒成立，利用換元法：令m=2^x，求出m²-2m-3的最大值得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=1-$\frac{4}{2+a}$=0，解得a=2．
驗(yàn)證當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=1-\frac{4}{{2}^{x+1}+2}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)，
∴實(shí)數(shù)a的值是2；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＞0．
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，tf（x）≥4^x-2^x+2+3恒成立，
等價(jià)于t≥$\frac{{4}^{x}-{2}^{x+2}+3}{f（x）}$=（2^x+1）（2^x-3）=（2^x）²-2•2^x-3對(duì)x∈（0，1]時(shí)恒成立，
令m=2^x，1＜m≤2，即t≥m²-2m-3，當(dāng)1＜m≤2時(shí)恒成立，
當(dāng)m=2時(shí)，（m²-2m-3）_max=-3，
故所求的t范圍是：t≥-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)法求參數(shù)范圍，屬中高檔題．