Question

已知函數(shù)．
（1）若是最小正周期為π的偶函數(shù)，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在上是增函數(shù)，求ω的最大值；并求此時(shí)f（x）在[0，π]上的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+θ）=2sin（ωx+ωθ+）（0＜θ＜）是最小正周期為π的偶函數(shù)，利用周期公式與誘導(dǎo)公式即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求ω的最大值；并求此時(shí)f（x）在[0，π]上的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=2sin（ωx+）（0＜θ＜），
∴f（x+θ）=2sin（ωx+ωθ+）（0＜θ＜），
又f（x+θ）是最小正周期為π的偶函數(shù)，
∴ω=2，
∴2θ+=kπ+，（k∈Z），又0＜θ＜，
∴＜2θ+＜．
∴k=0，θ=．
（2）∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函數(shù)，
∴由2kπ-≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：
≤x≤（k∈Z），
∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函數(shù)，
∴≤，
∴0＜ω≤．
∴ω_max=．
當(dāng)ω=時(shí)，f（x）=2sin（x+）．
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴≤sin（x+）≤1．
∴3≤2sin（x+）≤2．
∴當(dāng)x∈[0，π]，f（x）=2sin（x+）∈[3，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性，考查三角綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．