Question

4名學(xué)生與3位老師站成一排照相，分別求滿足下列要求的站法種數(shù)：
（1）3位老師站在一起；
（2）3位老師站在一起且兩邊各有2名學(xué)生；
（3）3位老師互不相鄰．

Answer 1

解：（1）第一步：3位老師站在一起，共有A₃³種站法，
第二步：把這3位站在一起的老師“看作”1位老師，他與4名學(xué)生共有A₅⁵種排列，
因此3位老師站在一起的站法共有A₃³A₅⁵=720；
（2）A₃³A₄²A₂²=144或A₃³A₄⁴=144；
（3）先把4名學(xué)生排列，再在5個空檔中選出3個位置讓給3位老師，
所以使3位老師互不相鄰的站法種數(shù)是A₄⁴A₅³=1440．
分析：（1）3位老師站在一起，可以采取綁定法計數(shù)，先綁定三位老師，再將三者看作一人與四名學(xué)生進(jìn)行全排列；
（2）3位老師站在一起且兩邊各有2名學(xué)生，先綁定三們老師，再全排列四位學(xué)生，四位學(xué)生的排列法可用看作四位置四人，則有A₄⁴種站法，或者先排一邊的兩個位置有A₄²種站法，再安排另一邊兩個位置的站法，有A₂²種站法，最后用乘法原理計數(shù)；
（3）3位老師互不相鄰，可先排四名學(xué)生，然后把三位老師插空，最后用乘法原理計數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計數(shù)原理及排列組合的公式，掌握一些特殊的計數(shù)技巧，如本題中綁定法，插空法．要注意每種方法與相應(yīng)問題的對應(yīng)．