Question

如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）問(wèn)：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù) L=

20

t-1

在[

3 +1

2

，

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．

解答：解：（1）由題意可得EH=

10

cosθ

，F(xiàn)H=

10

sinθ

，EF=

10

sinθcosθ

，由于 BE=10tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

，
而且

3

3

≤tanθ≤

3

，θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
即L=10×

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ=

t2-1

2

，由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴sinθ+cosθ=t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

3 +1

2

，

2

]．
由于L=

20

t-1

 在[

3 +1

2

，

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)t=

3 +1

2

時(shí)，即 θ=

π

6

 或θ=

π

3

 時(shí)，L取得最大值為 20（

3

+1）米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)的模型，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．