Question

矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點M （2，0），AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0．若點N（1，-5）在直線AD上．
（1）求點A的坐標及矩形ABCD外接圓的方程；
（2）過直線x-y+4=0上一點P作（1）中所求圓的切線，設(shè)切點為E、F，求四邊形PEMF面積的最小值．

Answer 1

解：（1）∵AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0，∴且，
∵A B⊥AD，∴k_AD=-3
∵點N（1，-5）在直線AD上
∴直線AD的方程為：y+5=-3（x-1）即3x+y+2=0 …1分
由，解得
即A（0，-2）…3分
∵ABCD是矩形，∴ABCD外接圓的圓心為對角線AC與BD的交點，即M（2，0），
半徑r=|AM|=2．故其方程為（x-2）²+y²=8…6分
（2）由切線的性質(zhì)知：四邊形PEMF的面積S=|PE|•r=r=…9分
∴四邊形PEMF的面積取最小值時，|PM|最小，即為圓心M到直線x-y+4=0的距離d=3．…11分
∴四邊形PEMF的面積S的最小值．…12分
分析：（1）先求直線AD的方程，再與AB的方程聯(lián)立，即可求得點A的坐標；ABCD外接圓的圓心為對角線AC與BD的交點，半徑r=|AM|=2，由此可得結(jié)論；
（2）先表示出四邊形PEMF面積，再轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離即可．
點評：本題考查直線方程、圓的標準方程，考查四邊形面積的求解，考查學生分析解決問題的能力，正確表示四邊形PEMF的面積是關(guān)鍵．