Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)試題分析；（Ⅱ）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（Ⅲ）詳見(jiàn)試題分析．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知條件，只要令，即可證得結(jié)論；（Ⅱ）由已知條件，列出，與已知式作差，得，分解因式，并注意到，可得，從而數(shù)列是等差數(shù)列，再結(jié)合已知條件：構(gòu)成等比數(shù)列，列出關(guān)于首項(xiàng)的方程，解這個(gè)方程，即可得首項(xiàng)的值，最終可以求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，可得的表達(dá)式：，根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，可以利用裂項(xiàng)相消法求的和，最終證得結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，       2分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列.    5分
構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得，      6分
由（Ⅰ）可知，． 是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.                                         7分
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.                          8分
（Ⅲ）         9分
        12分
考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和；2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的求法；3．?dāng)?shù)列與不等式的綜合．