Question

已知不等式x²+2ax-3a+4＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：令f（x）=x²+2ax-3a+4，則只要f（x）的最小值滿足大于0在[1，2]上恒成立即可，所以討論a求二次函數fx）最小值，讓最小值大于0即可解出a的范圍，然后對每種情況下的a求并集即可．

解答： 解：根據已知條件知：令f（x）=x²+2ax-3a+4，只要f（x）的最小值大于0，在x∈[1，2]恒成立即可；
對稱軸是：x=-a；
∴當-a≤1，即a≥-1時，f（x）_min=f（1）=5-a＞0，∴-1≤a＜5；
當-a≥2，即a≤-2時，f（x）_min=f（2）=a+8＞0，∴-8＜a≤-2；
當1＜-a＜2，即-2＜a＜-1時，f(x)min=f(-a)=-a2-3a+4＞0，
解得：-4＜a＜1，∴-2＜a＜-1；
綜上得a的取值范圍是：（-8，5）．

點評：考查二次函數的最小值，二次函數的對稱軸，并且掌握本題對于a的討論的方法．