Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωx•sin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0）在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

．
（1）求函數(shù)f（x）圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)2倍的函數(shù)解析式．
（2）若將函數(shù)f（x）上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到的原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，結(jié)合題意可解ω=1，可得解析式，由函數(shù)圖象的變換可得；
（2）由函數(shù)圖象的變換可得g（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

3

2

，易得最大值和單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin²ωx+

3

sinωx•sin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+

3

sinωx•cosωx+cos²ωx
=1+

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，
∵在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

，
∴2ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
故f（x）圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，得到的函數(shù)解析式為
y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)2倍的函數(shù)解析式為y=sin（x-

π

6

）+

3

2

；
（2）將函數(shù)f（x）上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到的原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

3

2

，∴函數(shù)g（x）的最大值為1+

3

2

=

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+π，
∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+

2π

3

，4kπ+π]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式以及圖象的變換，屬中檔題．