定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：
①f（10）=1，
②對(duì)任意實(shí)數(shù)b，f（xb）=bf（x）．
（1）求f（1），f（
1
2
），f（
1
4
），及滿(mǎn)足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）證明對(duì)任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）證明f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)b，f（xb）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（100）=0×1=0，
f（
1
2
）=f（10lg
1
2
）=lg
1
2
×1=lg
1
2

f（
1
4
）=f[（
1
2
）2]=2f（
1
2
）=2lg
1
2
．
因?yàn)閒（k-1002）=f（10lg（k-1002））=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）設(shè)x，y∈（0，+∞），
當(dāng)x≠1時(shí)，
f（xy）=f（x•xlogxy）
=x1+logxy
=（1+logxy）f（x）
=f（x）+logxy•f（x）
=f（x）+f（xlogxy）
=f（x）+f（y）．
當(dāng)x=1時(shí)，因?yàn)閒（1）=0也適合，
故對(duì)任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因?yàn)閤＞1時(shí)，
f（x）=f（10lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，
設(shè)0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1，所以f（
x2
x1
）＞0．
由（2）知f（x2）=f（
x2
x1
•x1）=f（
x2
x1
）+f（x1）＞f（x1），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時(shí)，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
3π
4
對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
3π
4
對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x≥
3π
4
時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿(mǎn)足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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