Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx
（Ⅰ）若f（x）無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f′（x）有零點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于-

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

利用f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)，故△=0．由此可得a=

1

2

即可；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得：0＜a＜

1

2

，再設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，從而得出證明．

解答：解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜

1

2

設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
因?yàn)樵趨^(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在區(qū)間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的極小值點(diǎn)．
因f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上f（x）是減函數(shù)，如能證明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，則更有f(x2)＜-

3

2

由韋達(dá)定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中設(shè)g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
利用導(dǎo)數(shù)容易證明g（t）當(dāng)t＞1時(shí)單調(diào)遞減，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，
因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，
從而有f（x）的極小值f（x₂）＜-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)即可，這種思想經(jīng)常用到．