Question

17．已知f（x）=16^x-2×4^x+5，x∈[-1，2]．
（1）設(shè)t=4^x，x∈[-1，2]，求t的最大值與最小值；
（2）求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得t的最值；
（2）令t=4^x，（$\frac{1}{4}$≤t≤16）原式變?yōu)椋簓=t²-2t+5=（t-1）²+4，求出對稱軸t=1，討論和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求最值．

解答 解：（1）由t=4^x在[-1，2]是單調(diào)增函數(shù)，
即有x=2時，t取得最大值為16，x=-1時，t取得最小值為$\frac{1}{4}$；
（2）令t=4^x，（$\frac{1}{4}$≤t≤16）原式變?yōu)椋?br />y=t²-2t+5=（t-1）²+4，
當(dāng)t=1時，此時x=1，f（x）取得最小值4；
當(dāng)t=16時，此時x=2，f（x）取得最大值229．

點評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．