Question

18．已知命題p：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，若命題￢p是假命題．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p是真命題：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，則a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．利用基本不等式的性質(zhì)求出其最大值即可得出．

解答 解：∵命題￢p是假命題，∴命題p是真命題．
若命題p是真命題：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，則a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．
令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，0＞f（x）=$\frac{-2}{x+\frac{1}{x}}$≥-1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）=$\frac{2}{-x+\frac{1}{-x}}$≤1．
綜上可得：f（x）∈[-1，1]．
∴a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡易邏輯的判定方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．