Question

18．已知命題p：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，若命題￢p是假命題．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p是真命題：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，則a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．利用基本不等式的性質求出其最大值即可得出．

解答 解：∵命題￢p是假命題，∴命題p是真命題．
若命題p是真命題：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，則a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．
令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．
當x=0時，f（0）=0；當x＞0時，0＞f（x）=$\frac{-2}{x+\frac{1}{x}}$≥-1；當x＜0時，0＜f（x）=$\frac{2}{-x+\frac{1}{-x}}$≤1．
綜上可得：f（x）∈[-1，1]．
∴a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．