Question

已知

a

=（cosx，

3

sinx），

b

=（2cosx，2cosx），f（x）=

a

•

b

+m
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為2，求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）f（x）=

a

•

b

+m=2cos2x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
可得f（x）的最小正周期T=

2π

2

．由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解出即可得出單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）由x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，因此當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值2，可得2×(-

1

2

)+1+m=2，解得m．當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)函數(shù)f（x）取得最大值．

解答： 解：（I）f（x）=

a

•

b

+m=2cos2x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（II）∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
因此當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值2，∴2×(-

1

2

)+1+m=2，解得m=2．
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)函數(shù)f（x）取得最大值，f(

π

6

)=2+1+2=5．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性周期性及其最值、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題題．