Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過原點(diǎn)的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，則橢圓E的方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$+2y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 畫出圖形，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解a，求出b，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意如圖：左焦點(diǎn)為E，連結(jié)AE，BE，
由橢圓的對稱性可知EBFA是平行四邊形，可得AF+BF=BE+BF=2a=4，
∴a=2，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查計(jì)算能力．