Question

已知函數f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，其中e為自然對數的底數．
（1）求f（x）的極值；
（2）當a=0時，對于?x∈（0，+∞），求證：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求函數定義域、導數，按照a≥0，a＜0兩種情況討論f′（x）的符號變化，由極值定義可得結論；
（2）當a=0時，令φ（x）=g（x）-f（x）-2=e^x-lnx-2，利用導數表示出φ（x）的最小值，只需說明最小值大于零即可．

解答： （1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0）．
（i）當a≥0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，故f（x）沒有極值；
（ii）當a＜0時，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

，
當x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0；當x∈（-

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴當x=-

1

a

時，f（x）取得極大值f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）．
（2）證明：當a=0時，f（x）=lnx，
令φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，φ′（x）=e^x-

1

x

．
φ″（x）=e^x+

1

x2

＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ′（x）在（0，+∞）上單調遞增．
設φ′（x）=0的根為x=t，則e^t=

1

t

，即t=e^-t．
當x∈（0，t）時，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上單調遞減；
當x∈（t，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上單調遞增．
故φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2．
由φ′（1）=e-1＞0，φ′（

1

2

）=

e

-2＜0，得t∈（

1

2

，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（

1

2

，1）上單調遞增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（

1

2

）=

e

+

1

2

-2＞0．
∴g（x）-f（x）＞2．即f（x）＜g（x）-2．

點評：該題考查恒成立問題、利用導數研究函數的極值，考查分類整合思想、轉化思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．注意認真體會（Ⅲ）問中二次求導的應用．