Question

19．已知函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1在區(qū)間（-∞，3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m＜0
• B． m=$\frac{2}{3}$
• C． 0≤m≤$\frac{2}{3}$
• D． m≥$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先對參數(shù)進(jìn)行分類討論①m=0；②m≠0，進(jìn)一步對二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討論，最后通過幾種情況的分析取集合的并集，求得相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：①當(dāng)m=0時，函數(shù)f（x）=-6x-1，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性得：函數(shù)在區(qū)間（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)．
②當(dāng)m＞0時，函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對稱軸方程為：x=$\frac{3（2-m）}{2m}$，
由于函數(shù)在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)，
所以：$\frac{3（2-m）}{2m}$≥3，
解得：0＜m≤$\frac{2}{3}$．
③當(dāng)m＜0時，函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對稱軸方程為：x=$\frac{3（2-m）}{2m}$，
由于函數(shù)在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)，
而對于開口方向向下的拋物線在（-∞，3]不可能是遞減函數(shù)．
所以m∈∅．
綜上所述：m的取值范圍為：0≤m≤$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，分類討論思想的應(yīng)用．屬于中檔題．