Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴內(nèi)層函數(shù)t=ax²+2x在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-，
當(dāng)a＞0則對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè)，t=ax²+2x在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又其處在真數(shù)位置上故有t=4a+4＞0，得a＞-1，故a＞0滿(mǎn)足題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)，此時(shí)有解得a≥-，故有-≤a＜0
當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)f（x）=log₂2x在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，故a=0符合題意
綜上a的取值范圍是[-，+∞）
分析：函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，由于外層函數(shù)是增函數(shù)，所以?xún)?nèi)層函數(shù)t=ax²+2x在[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-，討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[2，4]的位置關(guān)系若a＞0則對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè)，成立，若a＜0，則對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè)，此時(shí)有4≤-，利用二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)也要考慮真數(shù)為正這一條件．
點(diǎn)評(píng)：考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的方程或不等式，解不等式求出參數(shù)的范圍．