Question

已知點R（-3，0），點P在x軸的正半軸上，點Q在y軸上，點M在直線PQ上，且滿足2

QM

+3

MP

=

0

，

PM

•

QM

=1．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C恒有公共點求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直接法求點M的軌跡C的方程，先設出P點坐標，用P點坐標表示2

QM

+3

MP

=

0

，與

PM

•

QM

=1，再化簡，就可得點M的軌跡C的方程．
（2）直線l方程與（1）中所求點M的軌跡C的方程聯(lián)立，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，先找直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C有1個公共點時，m的值，結(jié)合圖象，就可求出直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C恒有公共點時m的范圍．

解答：解：（1）設M（x，y），由2

QM

 +3

MP

=

0

，得P（

x

3

，0），Q（0，-

y

2

）
由

PM

 •

QM

=1得（

x

3

，0）•（0，-

y

2

）=1，
即

x2

3 2

+

y2

2 3

=1，
由于點P在x軸的正半軸上，所以x＞0，
故點M的軌跡C的方程為

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）
（2）由

x2 3 2 + y2 2 3 =1 y=x+m

得13x²+18mx+（9m²-6）=0，
△=（18m）²-4×13（9m²-6）=0得  m²=

13

6

，m=±

78

6

，
因為

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）表示橢圓在y軸右邊部分．

橢圓

x2

3 2

+

y2

2 3

=1的上頂點B（0，

6

3

），
所以數(shù)形結(jié)合得-

78

6

≤m＜

6

3

所以m的取值范圍為[-

78

6

，

6

3

]．

點評：本題考查了直接法求曲線方程，以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷．