已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log（x+1），則f（-2001）+f（2012）


  1. A.
    1+log23
  2. B.
    -1+log23
  3. C.
    -1
  4. D.
    1
D
分析：由f（x+2）=-f（x）變形得到f（x+4）=f（x），說明當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，運(yùn)用周期函數(shù)的概念和函數(shù)是偶函數(shù)把要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求[0，2）內(nèi)的函數(shù)值．
解答：當(dāng)x≥0，有f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以f（2012）=f（503×4+0）=f（0）=log2（0+1）=0．
又函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，所以f（-2001）=f（2001）=f（500×4+1）=f（1）=log2（1+1）=1．
所以f（-2001）+f（2012）=1．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，此題為中低檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2x-1，則f(-
1
2
)的值為
2
-1
2
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是 R上的增函數(shù)，A（0，-1），B（3，1）是其圖象上的兩點(diǎn)，那么|f（x）|＜1的解集是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為3，且當(dāng)x∈(0，
3
2
)時(shí)，f（x）=2-x+1，則f（8）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且是f(x+1)=-
1
f(x)
，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2x-1，則f（log
1
2
6）=
-
1
2
-
1
2
．

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