Question

已知函數(shù)f（x）=-|x|+1，若關(guān)于x的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（　�。�

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：題中原方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即要求有2個(gè)不同的t滿足f（x）=t（K為不等1常數(shù)），先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，再根據(jù)函數(shù)f（x）=-|x|+1對應(yīng)法則，設(shè)t=f（x），等價(jià)于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）的圖象如右，設(shè)t=f（x）∈（-∞，1]，
則關(guān)于x 的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有 4 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（t）=t²+（2m-1）t+4-2m，
則

△=(2m-1)2-4(4-2m)＞0 - 2m-1 2 ＜1 g(1)=4＞0

，
解得

m＞ 3 2 或m＜- 5 2 m＞- 1 2 m∈R

，
∴m＞

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．