Question

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率計(jì)算公式能求了取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率．
（Ⅱ）利用互斥事件概率加法公式能求出取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率．
（Ⅲ）由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：設(shè)“取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球”為事件A．
則P(A)=

C 2 3 C 2 3

C 2 4 C 2 6

=

1

10

，
所以取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率為

1

10

．（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；
從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件B，
“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；
從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件C．
由于事件B，C互斥，
且P(B)=

C 2 3

C 2 4

•

C 1 3 • C 1 3

C 2 6

=

1

2

×

3

5

=

3

10

，（6分）
P(C)=

C 1 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

2

×

1

5

=

1

10

．（8分）
所以，取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為：
P(B∪C)=P(B)+P(C)=

3

10

+

1

10

=

2

5

．（9分）
（Ⅲ）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．（10分）
由（Ⅰ）（Ⅱ）知P(ξ=0)=

1

10

，P(ξ=1)=

2

5

．P(ξ=2)=

C 1 3

C 2 4

•

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

C 2 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

3×3×3

6×15

+

3×3

6×15

=

2

5

．
P(ξ=3)=

C 1 3

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

2

×

1

5

=

1

10

，
所以，ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 10	2 5	2 5	1 10

（12分）
所以ξ的數(shù)字期望Eξ=0×

1

10

+1×

2

5

+2×

2

5

+3×

1

10

=

3

2

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．