Question

已知向量

b

=（m，sin2x），

c

=（cos2x，n），x∈R，f（x）=

b

•

c

，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）和（

π

4

，1）．
（1）求m、n的值；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，

π

4

]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過(guò)數(shù)量積化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求m、n的值；
（2）通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用周期公式求f（x）的最小正周期，通過(guò)x∈[0，

π

4

]，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）向量

b

=（m，sin2x），

c

=（cos2x，n），x∈R，
f（x）=

b

•

c

=mcos2x+nsin2x，
∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）和（

π

4

，1）．
∴f（0）=1，∴m=1，f（

π

4

）=1，∴n=1．
（2）f（x）=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期為π．
∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴當(dāng)x=0或x=

π

4

時(shí)，f（x）的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的周期以及三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．