Question

等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n與b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．
（3）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x2+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)b₂S₂=32，b₃S₃=120建立方程組求得d和q，進而根據(jù)數(shù)列的首項求得a_n與b_n．
（2）根據(jù)（1）中求得的a_n與b_n，利用錯位相減法求得數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．
（3）利用裂項法求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，進而可知問題等價于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，進而求得a的范圍．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=2q^n-1
依題意有

S3b3=(9+3d)2q2=120 S2b2=(6+d)2q=32

，即

(9+3d)q2=60 (6+d)q=16

，
解得

d=2 q=2

，或者

d=- 6 5 q= 10 3

（舍去），
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2ⁿ．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ．T_n=3•2+5•2²++（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，2T_n=3•2²+5•2³++（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=3•2+2•2²+2•2³++2•2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2+2²+2³++2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-2-（2n+1）2ⁿ⁺¹=（1-2n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

++

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

++

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，
問題等價于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，
即1-

a2

4

≥

3

4

，即a²≤1，解得-1≤a≤1．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質和數(shù)列的求和．數(shù)列由等差數(shù)列和等比數(shù)列構成求和時常用裂項法求和．