Question

已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R．

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

(2)設函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，當h(x)存在最小之時，求其最小值(a)的解析式；

(3)對(2)中的(a)，證明：當a∈(0，＋∞)時，(a)≤1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝，(x)＝(x＞0)， 　　由已知得解德a＝，x＝e2， 　　兩條曲線交點的坐標為(e2，e)切線的斜率為k＝f’(e2)＝， 　　切線的方程為y－e＝(x－e2)． 　　(2)由條件知h(x)＝－alnx(x＞0)， 　　 　�、瘢寒攁＞0時，令(x)＝0，解得x＝4a2， 　　所以當0＜x＜4a2時 (x)＜0，h(x)在(0，4a2)上遞減； 　　當x＞4a2時，(x)＞0，h(x)在(0，4a2)上遞增． 　　所以x＞4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點． 　　所以Φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2 　�、虍攁≤0時，h(x)＝(1/2－2a)/2x＞0，h(x)在(0，＋∞)遞增，無最小值． 　　故h(x)的最小值Φ(a)的解析式為2a(1－ln2a)(a＞0) 　　(3)由(2)知Φ(a)＝2a(1－ln2a) 　　則Φ1(a)＝－2ln2a，令Φ1(a)＝0解得a＝1/2 　　當0＜a＜1/2時，Φ1(a)＞0，所以Φ(a)在(0，1/2)上遞增 　　當a＞1/2時，Φ1(a)＜0，所以Φ(a)在(1/2，＋∞)上遞減． 　　所以Φ(a)在(0，＋∞)處取得極大值Φ(1/2)＝1 　　因為Φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一個極致點，所以Φ(1/2)＝1也是Φ(a)的最大值 　　所當a屬于(0，＋∞)時，總有Φ(a)≤1