Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足4S=

3

(a2+b2-c2)
（I）求角C的大��；
（II）若邊長c=2，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1

2

absinC=

3

4

•2abcosC，可求tanC，進而可求C
（2）由c=2，要求△ABC的周長的最大值，只要求a+b的最大值，由（1）知，C=

1

3

π，利用余弦定理可得

1

2

=

a2+b2-4

2ab

，結(jié)合ab≤ ( 

a+b

2

)2可求a+b的范圍，可求周長的最大值
另法：由正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

，a+b=

4

3

(sinA+sinB)=

4

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]=4sin(A+

π

6

)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）由題意可知，S=

1

2

absinC，cosC=

a2+b2-c2

2ab

（2分）

1

2

absinC=

3

4

•2abcosC，所以tanC=

3

．（5分）
因為0＜C＜π，所以C=

π

3

．（6分）
（2）由（1）知，C=

1

3

π
∴

1

2

=

a2+b2-4

2ab

∴a²+b²-4=ab（7分）
∴（a+b）²-4=3ab（8分）
∵ab≤ ( 

a+b

2

)2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號
∴(a+b)2-4≤3(

a+b

2

)2（10分）
∴a+b≤4，
∴△ABC的周長最大值為6
另法：由正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

所以，a+b=

4

3

(sinA+sinB)=

4

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]=4sin(A+

π

6

)
所以，當(dāng)A=

π

3

時，a+b最大值為4，所以△ABC的周長的最大值為6．
其他方法請分步酌情給分

點評：本題主要考查了三角形的面積公式及正弦定理、余弦定理等知識的綜合應(yīng)用，基本不等式在求解最大值中的應(yīng)用，屬于綜合試題