Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0．證明f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 由f′（x）≥k＞0，可得f（x）在（0，+∞）遞增，可令g（x）=f（x）-kx，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答 證明：由f′（x）≥k＞0，可得
f（x）在（0，+∞）遞增，
可令g（x）=f（x）-kx，
由g′（x）=f′（x）-k≥0，
即有g(shù)（x）在（0，+∞）遞增，
g（x）＞g（0）=f（0），
則有f（x）-kx＞f（0），
即f（x）＞kx+f（0），
由f（0）＜0，kx＞0，當(dāng)x→+∞，kx→+∞，
使得kx+f（0）＞0，由f（x）在（0，+∞）遞增，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，
可得f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．