已知l1、l2是過點P(-,0)的兩條互相垂直的直線,且l1、l2與雙曲線y2x2=1各有兩個交點,分別為A1、B1A2、B2.

(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范圍;

(Ⅱ)(理)若|A1B1|=|A2B2|,求l1l2的方程.

(文)若A1恰是雙曲線的一個頂點,求|A2B2|的值.

答案:
解析:

(Ⅰ)依題設(shè)l1l2的斜率都存在,因為l1過點P(-,0)且與雙曲線有兩個交點,故方程

 ①k1≠0有兩個不同的解

整理得(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0      ②

k12-1=0,則方程組①只有一個解,即l1與雙曲線只有一個交點與題設(shè)

矛盾,故k12-1≠0即k12≠1

所以方程②的判別式Δ=(2k122-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)

又設(shè)l2的斜率為k2,l2過點P(-,0)且與雙曲線有

兩個交點,故方程組

  ③有兩個不同的解

整理得(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0      ④

同理有k22-1≠0,Δ=4(3k22-1)

因為l1l2,所以k1·k2=-1

所以l1、l2與雙曲線各有兩個交點等價于

整理得

k1∈(-,-1)∪(-1,)∪(,1)∪(1,

(Ⅱ)(理)設(shè)A1x1,y1)、B1x2,y2)由方程②知

所以|A1B1|2=(x1x22+(y1y22=(1+k12)(x1x22

       ⑤

同理,由方程④可得

|A2B2|2   ⑥

由|A1B1|=|A2B2|得|A1B1|2|A2B2|2,

將⑤、⑥代入上式得

解得k1=±

k1時,

l1yx),l2y=-x);

k1=-時,

l1y=-x),l2yx).

(Ⅱ)(文)雙曲線y2x2=1的頂點為(0,1)、(0,-1).

A1(0,1)時,有:k1(0+)=1,∴k1=,從而k2=-=-.

k2=-代入④,得x2+4x+3=0      ⑦

記直線l2與雙曲線的兩交點為A2x1,y1)、B2x2y2

則|A2B2|2=(x1x22+(y1y22=3(x1x22=3[(x1+x22-4x1x2

由⑦,知x1+x2=-4x1·x2=3,∴|A2B2|2=60

即|A2B2|=2.

當取A1(0,-1)時,由雙曲線y2x2=1關(guān)于x軸的對稱性,知|A2B2|=2.

所以l1過雙曲線的一個頂點時,|A2B2|=2.


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