已知l1、l2是過點P(-,0)的兩條互相垂直的直線,且l1、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點,分別為A1、B1和A2、B2.
(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范圍;
(Ⅱ)(理)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程.
(文)若A1恰是雙曲線的一個頂點,求|A2B2|的值.
(Ⅰ)依題設(shè)l1、l2的斜率都存在,因為l1過點P(-,0)且與雙曲線有兩個交點,故方程 ①k1≠0有兩個不同的解 整理得(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0 ② 若k12-1=0,則方程組①只有一個解,即l1與雙曲線只有一個交點與題設(shè) 矛盾,故k12-1≠0即k12≠1 所以方程②的判別式Δ=(2k12)2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1) 又設(shè)l2的斜率為k2,l2過點P(-,0)且與雙曲線有 兩個交點,故方程組 ③有兩個不同的解 整理得(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0 ④ 同理有k22-1≠0,Δ=4(3k22-1) 因為l1⊥l2,所以k1·k2=-1 所以l1、l2與雙曲線各有兩個交點等價于 整理得 ∴k1∈(-,-1)∪(-1,)∪(,1)∪(1,) (Ⅱ)(理)設(shè)A1(x1,y1)、B1(x2,y2)由方程②知 . 所以|A1B1|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k12)(x1-x2)2 = ⑤ 同理,由方程④可得 |A2B2|2= ⑥ 由|A1B1|=|A2B2|得|A1B1|2=|A2B2|2, 將⑤、⑥代入上式得 解得k1=±. 取k1=時, l1:y=(x+),l2:y=-(x+); 取k1=-時, l1:y=-(x+),l2:y=(x+). (Ⅱ)(文)雙曲線y2-x2=1的頂點為(0,1)、(0,-1). 取A1(0,1)時,有:k1(0+)=1,∴k1=,從而k2=-=-. 將k2=-代入④,得x2+4x+3=0 ⑦ 記直線l2與雙曲線的兩交點為A2(x1,y1)、B2(x2,y2) 則|A2B2|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2] 由⑦,知x1+x2=-4,x1·x2=3,∴|A2B2|2=60 即|A2B2|=2. 當取A1(0,-1)時,由雙曲線y2-x2=1關(guān)于x軸的對稱性,知|A2B2|=2. 所以l1過雙曲線的一個頂點時,|A2B2|=2. |
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