Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，左、右焦點(diǎn)分別為、．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性確定在橢圓上的三點(diǎn)，由橢圓的上頂點(diǎn)可求出a，點(diǎn)或的坐標(biāo)代入橢圓求出b，即可寫(xiě)出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)的方程與橢圓方程得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積，即可利用弦長(zhǎng)公式求出，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可寫(xiě)出直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的方程，令求出，代入得到關(guān)于k的分式，利用基本不等式可求得最小值.

（1）易知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，一定都在橢圓上，所以一定不在橢圓上，根據(jù)題意也在橢圓上，則，

將代入橢圓方程得，

所以橢圓方程為.

（2）由知橢圓的左焦點(diǎn),

設(shè)直線(xiàn)的方程為（），，，的中點(diǎn)為.

聯(lián)立，可得，

則，，

所以，，

點(diǎn)，

，

垂直平分線(xiàn)方程為：，

令，求得，則，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

因此，當(dāng)，取最小值.