Question

（1）已知{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，a₇是a₃與a₉的等比中項(xiàng)，求該數(shù)列前10項(xiàng)和S₁₀；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=

2

3

，b_n+1=

2bn

3bn+2

，試求b₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由a₇是a₃與a₉的等比中項(xiàng)得

a

2 7

=a3•a9，可得關(guān)于a₁的方程，解出a₁，由等差數(shù)列求和公式可求得S₁₀；
（2）兩邊取倒數(shù)可得數(shù)列遞推式，由遞推式可判斷{

1

bn

}是等差數(shù)列，從而可求得

1

bn

，進(jìn)而得b_n，從而可得答案．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則d=-2．
根據(jù)題意，可知道

a

2 7

=a3•a9，即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d)，
解得a₁=20，
∴S₁₀=10a1+

10(10-1)

2

d=10•20+45•（-2）=110；
（2）由bn+1=

2bn

3bn+2

，兩邊取倒數(shù)并整理可得

3

2

=

1

bn+1

-

1

bn

，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

b1

=

3

2

，公差為

3

2

的等差數(shù)列．
∴

1

bn

=

3

2

+(n-1)•

3

2

=

3n

2

，∴bn=

2

3n

，
∴b2013=

2

3•2013

=

2

6039

．

點(diǎn)評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，屬中檔題．