Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的正負轉(zhuǎn)化成研究一元二次函數(shù)的根的分布問題；

（2）利用韋達定理得到，，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的表達式，再利用換元法令，從而構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域可得自變量的范圍，進而得到的取值范圍.

解：（1）.

令，則.

①當(dāng)或，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即時，

由，得或；

由，得，

∴在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）得，當(dāng)時，有兩極值點，（其中）.

由（1）得，為的兩根，所以，.

所以

.

令，則，

因為，

所以在上單調(diào)遞減，而，，

所以，

又，易知在上單調(diào)遞增，

所以，

所以實數(shù)的取值范圍為.