已知數(shù)列{an}滿足,,.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)是否存在互不相等的正整數(shù)、、,使、、成等差數(shù)列,且、、 成等比數(shù)列?如果存在,求出所有符合條件的、、;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析
解析試題分析:(1)先利用倒數(shù)法得到,再結(jié)合待定系數(shù)法得到,從而證明數(shù)列為等比數(shù)列;(2)在(1)的條件下求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,假設(shè)相應(yīng)的正整數(shù)、、滿足題中條件,并列出相應(yīng)的等式組并進(jìn)行化簡(jiǎn),利用基本不等式得出矛盾,從而說(shuō)明符合題中條件的正整數(shù)、、不存在.
試題解析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/0/4mzlu.png" style="vertical-align:middle;" />,所以. 所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/0/ssmgh.png" style="vertical-align:middle;" />,則.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列;
(2)由(1)知,,所以.
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件,
則有,
由與,
得.
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/93/b/9joza1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/2/rus2o.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
這與、、互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件.
考點(diǎn):1.倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng);2.待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng);3.基本不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前三項(xiàng)分別為,,,(其中為正常數(shù))。設(shè)。
(1)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列;
(2)若=1,求的值;
(3)若=4,試證明:當(dāng)時(shí),.
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觀察下列三角形數(shù)表,假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2,n∈N*).
(1)依次寫(xiě)出第六行的所有6個(gè)數(shù);
(2)歸納出an+1與an的關(guān)系式并求出{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列的通項(xiàng),.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)判斷數(shù)列的增減性,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).
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已知曲線,過(guò)上一點(diǎn)作一斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)(且,點(diǎn)列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列,其中.
(1)求與的關(guān)系式;
(2)令,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)若(為非零整數(shù),),試確定的值,使得對(duì)任意,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.
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設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足:.遞增的等比數(shù)列前項(xiàng)和為,滿足:.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì),均有成立,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知{an}是等差數(shù)列,a1=3,Sn是其前n項(xiàng)和,在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中,b1=1,且b2+S2=10,S5 =5b3+3a2.
(I )求數(shù)列{an}, {bn}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè),數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足:.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng);
(Ⅱ)若數(shù)列的滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:.
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