Question

已知：函數(shù)f(x)=2cos2(x-

π

4

)-[sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)]2(x∈R)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．

Answer 1

分析：利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式、和差角公式把已知函數(shù)化簡為f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)
（1）利用三角函數(shù)y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）周期公式T=

2π

w

（2）利用三角函數(shù)y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）取最大值的條件wx+∅=

π

2

+2kπ，k∈Z，解x的值

解答：解：f(x)=2cos2(x-

π

4

)-[sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)] 2
=1+cos(2x-

π

2

)-[

2

sin(x+

π

2

) ] 2
=1+sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x  
=

2

sin(2x-

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π
（2）當(dāng) f（x）取最大值時(shí)，sin(2x-

π

4

)=1，即2x-

π

4

=

π

2

+2kπ?{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}

點(diǎn)評：本題綜合考查了二倍角公式、誘導(dǎo)公式、配湊和差角公式在三角化簡中的運(yùn)用，而對三角函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性、最值）的考查也是近幾年高考的熱點(diǎn)，要熟練掌握．