Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$（a＞0）是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{17}{4}$；
（3）若關于x的不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義可得f（-x）=f（x），解方程可得a=1；
（2）不等式即為2^x+2^-x＜$\frac{17}{4}$，令t=2^x（t＞0），可化為二次不等式，解得t的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得x的范圍；
（3）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得f（-x）=f（x），
即$\frac{1}{a•{2}^{x}}$+a•2^x=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$，
即（a-$\frac{1}{a}$）•2^x=（a-$\frac{1}{a}$）2^-x，
可得a²=1，即a=±1（-1舍去），
則a=1；
（2）不等式f（x）＜$\frac{17}{4}$，
即為2^x+2^-x＜$\frac{17}{4}$，令t=2^x（t＞0），
即有4t²-17t+4＜0，
解得$\frac{1}{4}$＜t＜4，即$\frac{1}{4}$＜2^x＜4，
可得-2＜x＜2，
則解集為（-2，2）；
（3）關于x的不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即為m（2^x+2^-x-1）≤2^-x-1，
∵x＞0，∴2^x+2^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{x}+{2}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
設t=2^x，（t＞1），則m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{t-1}{（t-1）^{2}+（t-1）+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，
當且僅當t=2時等號成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定和運用，考查函數(shù)單調(diào)性的運用和函數(shù)恒成立問題的解法，屬于中檔題．