Question

【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PF⊥FD；
（Ⅱ）判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】解：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz， 則A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0）．
不妨令P（0，0，t）∵ ，
∴ ，
即PF⊥FD．
（Ⅱ）設(shè)平面PFD的法向量為 ，
由 ，得 ，令z=1，解得： ．
∴ ．
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，m）， ，則 ，
要使EG∥平面PFD，只需 ，即 ，
得 ，從而滿足 的點(diǎn)G即為所求．
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴ 是平面PAD的法向量，易得 ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為
∴ ，
故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值為 ．
解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則 ， ，

又AD=2，∴DF2+AF2=AD2 ，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有
再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且 ，
∴平面GEH∥平面PFD
∴EG∥平面PFD．
從而滿足 的點(diǎn)G即為所求
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1
取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角
∵Rt△MND∽R(shí)t△PAD，
∴ ，
∵ ，且∠FMN=90°
∴ ， ，
∴


【解析】解法一（向量法）（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個(gè)垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點(diǎn)位置；（Ⅲ）由 是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案． 解法二（幾何法）（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有 ，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且 ，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．