當(dāng)x1＞0，x2＞0，則
x1+x2
2
≥
x1x2
，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取等號(hào)，這個(gè)結(jié)論可以推廣到n個(gè)正數(shù)的情況，即：當(dāng)x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，則
x1+x2+x3+…+xn
n
≥
nx1x2x3…xn
(n∈N*)
x1+x2+x3+…+xn
n
≥
nx1x2x3…xn
(n∈N*)
；當(dāng)且僅當(dāng)
x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）
x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）
時(shí)取等號(hào)．
分析：認(rèn)真觀察
x1+x2
2
≥
x1x2
，等式左邊的數(shù)是：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，右邊的是這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，利用此規(guī)律求解這個(gè)結(jié)論可以推廣到n個(gè)正數(shù)的情況進(jìn)行填空，從而即可求解．
解答：解：認(rèn)真觀察式子：
x1+x2
2
≥
x1x2
，
等式左邊的數(shù)是：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，右邊的是這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，
利用此規(guī)律可以推測(cè)到n個(gè)正數(shù)的情況，即：
當(dāng)x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，則
x1+x2+x3+…+xn
n
≥
nx1x2x3…xn
(n∈N*)；
當(dāng)且僅當(dāng) x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）時(shí)取等號(hào)．
故答案為：
x1+x2+x3+…+xn
n
≥
nx1x2x3…xn
(n∈N*)；x1=x2=x3=…=xn（n∈N*）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了歸納推理、分析能力，認(rèn)真觀察各式，根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）2＞
n
2(n+1)(n+2)
（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•廣州二模）已知函數(shù)f（x）=
x2
2x+1
（x＞0）
（1）當(dāng)x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1時(shí)，求證：x1•x2≥3+2
2

（2）若數(shù)列{an}滿足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007屆宜昌市一中高三數(shù)學(xué)(理)期末考試模擬試題－舊人教 題型：044

已知函數(shù)f(x)是在(0，＋∞)上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0上恒成立.

求證：函數(shù)g(x)＝

當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．

已知不等式ln(1＋x)＜x在x＞－1且x≠0時(shí)恒成立，求證：

…＋N+).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西省南昌二中2012屆高三第三次月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知函數(shù)f(x)是在(0，＋∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若在(0，＋∞)上恒成立．

(Ⅰ)①求證：函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

②當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(Ⅱ)已知不等式ln(x＋1)＜x在x＞－1且x≠0時(shí)恒成立，求證：

…

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