Question

 

已知函數(shù)（a，b是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于x的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

已知函數(shù)（a，b是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求b的取值范圍；

（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于x的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，………１分

依題意　　即恒成立

，解得　

所以b的取值范圍是…………………………………４分

（2）因?yàn)?sub>為奇函數(shù)，所以，所以，.又在處的切線垂直于直線，所以，即.…………………………………………………6分

 

x

在，上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，由解得，，……………………………7分

法一:如圖所示，作與的圖像，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則

x

①當(dāng)時(shí)，，

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

②當(dāng)時(shí)，，

解得；

②

③當(dāng)時(shí)，不成立；

-1

x

④

y

④當(dāng)時(shí)，，

 

 

 

 

 

 

x

O

y

即，解得；

⑤當(dāng)時(shí)，，

 

 

 

y

O

解得；

x

⑥當(dāng)時(shí)，.

………………………………………………………………………１３分

綜上t的取值范圍是或或.…………………１４分

法二：由.　　

作與的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，過(guò)圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于軸的直線與都只有唯一交點(diǎn)，當(dāng)取其它任何值時(shí)都有兩個(gè)或沒(méi)有交點(diǎn)。

所以當(dāng)時(shí)，方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.