【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,E是AB的中點(diǎn),AB=AD=PA=PB=2,BC=1,PC= .
(1)求證:CF∥平面PAB;
(2)求證:PE⊥平面ABCD;
(3)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:取AP的中點(diǎn)M,連接MF,MB,
因?yàn)镸是AP中點(diǎn),F(xiàn)是PD中點(diǎn),
所以 ,
又因?yàn)? ,
所以四邊形BCFM是平行四邊形,所以FC∥BM,
又FC面ABP,BM面ABP
所以FC∥面ABP
(2)證明:連接CE,
因?yàn)樵凇鰽BP中,AB=AP=BP,點(diǎn)E是邊AB在的中點(diǎn),
所以PE⊥AB且 ,
在Rt△BEC中,BE=EC=1,EB⊥BC,所以
在△PEC中, , , ,
所以PE⊥EC
又因?yàn)锳B∩EC=E,AB面ABCD,EC面ABCD
所以PE⊥面ABCD
(3)解:取CD中點(diǎn)N,以EB,EN,EP分別為軸x,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐標(biāo)為:B(1,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0), ,A(﹣1,0,0),
因?yàn)椋築C⊥PE,AB⊥BC,所以BC⊥面ABP,面ABP的法向量為
設(shè)面ABP的法向量為 , ,
,取x0=1,得 ,
由圖可知二面角為銳二面角,設(shè)銳二面角為θ,
,
二面角B﹣PA﹣C余弦值為 .
【解析】(1)取AP的中點(diǎn)M,連接MF,MB,推導(dǎo)出四邊形BCFM是平行四邊形,從而FC∥BM,由此能證明FC∥面ABP.(2)連接CE,推導(dǎo)出PE⊥AB,PE⊥EC,由此能證明PE⊥面ABCD.(3)取CD中點(diǎn)N,以EB,EN,EP分別為軸x,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足ccosB=(2a+b)cos(π﹣C).
(1)求角C的大。
(2)若c=4,△ABC的面積為 ,求a+b的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿(mǎn)足 ,S7=56.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=a1且bn+1﹣bn=an+1 , 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( 。
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定點(diǎn)M(1,0)和直線x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)N(﹣1,t),線段MN的垂直平分線交直線y=t于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)直線y=kx+b(k≠0)交x軸于點(diǎn)C,交曲線E于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P.點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,求證:A,P,Q三點(diǎn)共線.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)滿(mǎn)足an+1=2an , 且a1 , a2+1,a3成等差數(shù)列,設(shè)bn=3log2an﹣7.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, , , 平面, .設(shè)分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面∥平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是直角梯形,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)設(shè)是棱上一點(diǎn),是的中點(diǎn),若與平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四面體A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(I)證明:PQ//平面BCD;
(II)若異面直線PQ與CD所成的角為,二面角C-BM-D的大小為,求cos的值。
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com