已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)（e，f（e））（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，且k＜數(shù)學(xué)公式對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx
∴k＜對(duì)任意x＞1恒成立，等價(jià)于k＜對(duì)任意x＞1恒成立
令g（x）=，則g′（x）=
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
則h′（x）=1-=＞0
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實(shí)數(shù)根x0，滿足x0∈（3，4），且h（x0）=0
當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）=在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）min=g′（x0）=∈（3，4），
∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），
∴整數(shù)k的最大值為3．
分析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（2）k＜對(duì)任意x＞1恒成立，等價(jià)于k＜對(duì)任意x＞1恒成立，求出右邊的最小值，即可求得k的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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