Question

9．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐四個面的面積中最大值是2$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 由題意和三視圖知，需要從對應的長方體中確定三棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)和幾何體的垂直關系，求出四面體四個面的面積，再確定出它們的最大值．

解答 解：將該幾何體放入在長方體中，且長、寬、高為4、3、4，
由三視圖可知該三棱錐為B-A₁D₁C₁，
由三視圖可得，A₁D₁=CC₁=4、D₁C₁=3，
所以BA₁=A₁C₁=5，BC₁=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
則三角形BA₁C₁的面積S=$\frac{1}{2}$×BC₁×h=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
因為A₁D₁⊥平面ABA₁B₁，所以A₁D₁⊥A₁B，
則三角形BA₁D₁的面積S=$\frac{1}{2}$×BA₁×A₁D₁=$\frac{1}{2}$×4×5=10，
同理可得，三角形BD₁C₁的面積S=$\frac{1}{2}$×BC₁×D₁C₁=$\frac{1}{2}$×3×4$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
又三角形A₁D₁C₁的面積S=$\frac{1}{2}$×D₁C₁×A₁D₁=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
所以最大的面為A₁BC₁，且面積為2$\sqrt{34}$，
故答案為：2$\sqrt{34}$．

點評 本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，幾何體的表面積以及體積的求法，考查計算能力