Question

已知f（x）=，且方程f（x）=-4x+8有兩個不同的正根，其中一根是另一根的3倍，記等差數列{a_n}、{b_n}  的前n項和分別為S_n，T_n且（n∈N₊）．
（1）若g（n）=，求g（n）的最大值；
（2）若a₁=，數列{b_n}的公差為3，試問在數列{a_n} 與{b_n}中是否存在相等的項，若存在，求出由這些相等項從小到大排列得到的數列{c_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．
（3）若a₁=，數列{b_n}的公差為3，且d_n=b_n-（n-1），h（x）=．試證明：h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=4時，f（x）=，從而有：=f（n）=，g（n）==結合函數的性質即可得出g（n）的最大值．
（2）假若存在數列{a_n}中的第n項與數列{b_n}中的第m項相等，即4n-=3m-2，進一步分析可得矛盾矛盾，即可得結論．
（3）根據題意得h（d_n）=，要證h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜即要證××…×＜（直接用數學歸納法證明不出）只要證明××…×＜（再用數學歸納法證明即可）．
解答：解：（1）a=4，f（x）=，
=f（n）=
g（n）==，
此函數是關于n的減函數，
當n=1時取得最大值，
故g（n）的最大值為g（1）=．
（2）由（1）知，可得
a_n=4n-，b_n=3n-2
令a_n=b_m，4n-=3m-2可得：=3m-4n∈Z，矛盾
所以在數列{a_n} 與{b_n}中不存在相等的項．
（3）證明：∵h（d_n）=
∴要證h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜
即要證××…×＜（直接用數學歸納法證明不出）
只要證明××…×＜（再用數學歸納法證明即可）
①當n=1時，××…×＜顯然成立，當n=2時，××…×＜成立；
②假設當n=k（k≥2）時××…×＜成立，
當n=k+1時，為了要證明：××…×＜成立
只要證：
?3（2k+1）²≤（3k+1）[（2k+2）²-（2k+1）²]=（3k+1）（4k+3）
?12k²+12k+3≤12k²+13k+3?k≥0．
最后一個式子顯然成立，從而得出n=k+1時也成立．
由①②可得n∈N⁺時，h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜．
點評：本題主要考查數學歸納法與等差數列的有關性質，以及等差數列的通項公式、函數求最值等知識點，屬于中檔題．