Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，點是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于、兩點，過點作直線的垂線交圓:于另一點.若的面積為3，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意可知：當為的短軸頂點時，面積取最大值，又離心率為，則可以列出方程，解出的值即可求出橢圓的方程.（2）首先討論兩條直線中斜率為0和斜率不存在的情況，判斷三角形的面積是否為3；然后討論一般情況，設直線的方程為，直線的方程為，分別與橢圓和圓聯立，用K表示出線段AB的長和點N到直線的距離，表示出的面積，即可求出斜率的值.

解：（1）∵橢圓的離心率為，當為的短軸頂點時，

的面積有最大值.

∴,解得，

故橢圓的方程為：.

（2）若的斜率為0，則，，

∴的面積為，不合題意，所以直線的斜率不為0.

設直線的方程為，

由消去得，

設，，

則，，

∴.

直線的方程為，即，

∴.

∴的面積，

解得，即直線的斜率為.