Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+1（n≥2）且a₁=1，b_n=log₂（a_2n+1+1），cn=

1

b 2 n -1

．求證：
（Ⅰ）數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}的前n項和Sn＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）把已知的等式a_n=2a_n-1+1變形，得到a_n+1=2（a_n-1+1），同時求出當n=2時得到a₂+1=2（a₁+1），將a₁的值代入求出a₂+1的值，確定出數(shù)列{a_n+1}以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，表示出等比數(shù)列的通項公式，可得出a_n的通項公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{c_n}的通項，利用裂項法求和，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
令n=2得：a₂+1=2（a₁+1），又a₁=1，
∴a₂+1=4，a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則通項公式為a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₂（a_2n+1+1）=2n+1，cn=

1

b 2 n -1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以S_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

．   …（12分）

點評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的確定，考查裂項法求和，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．