Question

1．過橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$內一點M（l，l）的直線l交橢圓于兩點，且M為線段AB的中點，則直線l的方程為3x+4y-7=0．

Answer 1

分析 通過直線l過點M（1，1）可設其方程為x=m（y-1）+1，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理及中點坐標公式計算即得結論．

解答 解：依題意，設直線l方程為：x=m（y-1）+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（4+3m²）y²-6m（m-1）y+3m²-6m-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{6m（m-1）}{4+3{m}^{2}}$，
∵且線段AB的中點為M（1，1），
∴$\frac{6m（m-1）}{4+3{m}^{2}}$=2，即m=-$\frac{4}{3}$，
∴直線l方程為x=-$\frac{4}{3}$（y-1）+1，即3x+4y-7=0，
故答案為：3x+4y-7=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．