【題目】如圖,多面體中,面為矩形,,且.
(1)求證:平面;
(2)求與所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)要證平面,只需證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線、即可;(2)要求與所成的角,即求與所成的角,解三角形可求與所成角的余弦值;(3)過作于又過作于,連接,說明為二面角的平面角,解三角形可求二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵是矩形,∴
又,則
, ∴平面
(2)矩形,∴,即,
∴要求與所成的角,即求與所成的角.
在中,由(1)知面,
∴中,,
∴是在面內(nèi)的射影,且,
∴,
,
從而與的成的角的余弦為;
(3)∵中,且,
∴面,
∴面面,為面與面的交線,
∴過作于,∴面,
又過作于,連接,從而得:,
∴為二面角的平面角.
在矩形中,對角線,
∴在中,,
由(2)知在中,,
而中,,且,∴,
∴為等腰直角三角形且為直角,
∴,
∴,
所以所求的二面角的余弦為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,離心率,且其中一個焦點與拋物線的焦點重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T,若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知三個班共有學(xué)生100人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時).
班 | 6 | 7 | ||
班 | 6 | 7 | 8 | |
班 | 5 | 6 | 7 | 8 |
(1)試估計班學(xué)生人數(shù);
(2)從班和班抽出來的學(xué)生中各選一名,記班選出的學(xué)生為甲,班選出的學(xué)生為乙,求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一(1)班有男同學(xué)45名,女同學(xué)15名,老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個課外興趣小組.
(I)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù);
(II)經(jīng)過一個月的學(xué)習(xí)、討論,這個興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項實驗,方法是從小組里選出一名同學(xué)做實驗,該同學(xué)做完后,再從小組內(nèi)剩下的同學(xué)中選出一名同學(xué)做實驗,求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率;
(III)在(II)的條件下,第一次做實驗的同學(xué)A得到的實驗數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44,第二次做實驗的同學(xué)B得到的實驗數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44,請問哪位同學(xué)的實驗更穩(wěn)定?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩個不透明的箱子,每個箱子都裝有4個完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.
(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球,乙從另一個箱子摸出一個球,誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;
(2)摸球方法與(1)同,若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝,所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
② 求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形是邊長為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓長軸的左、右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點,證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點的定點,使得以為直徑的圓恒過直線的交點,若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1) 求向量b+c的模的最大值;
(2) 若α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.
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【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏,將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級,隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.
(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級,根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?
(2)若參賽選手共6萬人,用頻率估計概率,試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù);
(3)在優(yōu)秀等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6,在良好等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名,記其編號為,在選出的6名良好等級的選手中任取一名,記其編號為,求使得方程組有唯一一組實數(shù)解的概率.
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