Question

（1）f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，a∈R，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x₂＞x₁＞0，求證：(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

Answer 1

分析：（1）求出f/(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1時(shí)四種情況，分別討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，可以得到單調(diào)性的四種不同情況；
（2）構(gòu)造函數(shù)h(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，通過討論h′（x）的單調(diào)性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，從而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．再根據(jù)0＜x₁＜x₂時(shí)，結(jié)合
h（x）單調(diào)減可得(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

解答：解：（1）f/(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

     （x＞0）
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a）是增函數(shù)，在區(qū)間（a，1）是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）是增函數(shù)
③當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）是增函數(shù)
④當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)，（1，a）是減函數(shù)，（a，+∞）是增函數(shù)------------------（6分）
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0
∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減----------------------（8分）
∴當(dāng)x＞0時(shí)，p（x）＜p（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．------------（10分）
∴0＜x₁＜x₂時(shí)，有

ln(1+x1)

x1

＞

ln(1+x2)

x2

，
∴x₂ln（1+x₁）＞x₁ln（1+x₂），
∴(1+x1)x2＞(1+x2)x1-----（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．