Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求證：
（1）AD∥平面PBC；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC∥平面PAD，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可得到BC∥AD，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明AD∥平面PBC；
（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，進(jìn)而得到面面垂直．
解答：證明：（1）因?yàn)锽C∥平面PAD，
而B(niǎo)C?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以BC∥AD．
因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
（2）自P作PH⊥AB于H，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD．
因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥PH．
因?yàn)椤螾BC=90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是點(diǎn)H與B不重合，即PB∩PH=H．
因?yàn)镻B，PH?平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因?yàn)锽C?平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線(xiàn)面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理，線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)定理，需要較強(qiáng)的推理能力和空間想象能力．